Combinación afín

En matemáticas, dado un espacio afín ${\displaystyle (\mathbb {A} ,V,\varphi )}$ sobre un cuerpo ${\displaystyle \mathbb {K} }$, y un número finito de puntos ${\displaystyle p_{1},...,p_{n}\in \mathbb {A} }$, una combinación afín de ${\displaystyle p_{1},...,p_{n}}$ es un punto expresado con una combinación lineal

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot p_{i}}=\alpha _{1}p_{1} \alpha _{2}p_{2} \cdots \alpha _{n}p_{n},}$

con ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}\in \mathbb {K} }$ tales que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1.}$

En general, las operaciones producto por escalar y suma no están definidas en el conjunto ${\displaystyle \mathbb {A} }$, de forma que, fijado un punto auxiliar ${\displaystyle {\bar {p}}\in \mathbb {A} ,}$ la expresión anterior se define como

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot p_{i}}={\bar {p}} \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}{\overrightarrow {({\bar {p}}p_{i})}}}\in \mathbb {A} }$.

En esta expresión, las operaciones suma y producto por escalar sí que están definidas, pues se aplican a ${\displaystyle {\vec {{\bar {p}}p_{i}}}}$, elementos de un espacio vectorial ${\displaystyle V}$.

La expresión anterior está bien definida porque es independiente del punto auxiliar ${\displaystyle {\bar {p}}\in \mathbb {A} }$ escogido. Es decir, fijado otro punto auxiliar ${\displaystyle p'\in \mathbb {A} }$ arbitrario, la combinación afín obtenida por la anterior definición es la misma:

El concepto de combinación afín es fundamental en geometría euclidiana y geometría afín, porque el conjunto de todas las combinaciones afines de un conjunto de puntos forman la variedad lineal más pequeña que los contiene. Es decir, si consideramos el conjunto de puntos ${\displaystyle S:=\left\{{p_{1},...,p_{m}}\right\}\subseteq \mathbb {A} }$ y denotamos como ${\displaystyle \left\langle S\right\rangle }$ al conjunto de combinaciones afines de ${\displaystyle S}$, entonces

Referencias

• Gallier, Jean (2001), Geometric Methods and Applications, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95044-0, (requiere registro) . Ver capítulo 2.